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回歸（Regression）是機器學習中的一種基本方法，其目標是通過分析自變量與因變量之間的關系，建立一個數學模型來預測因變量的值。

線性回歸、多項式回歸、正則化線性回歸是機器學習中常用的回歸分析方法。其中線性回歸用直線擬合數據關系，多項式回歸用曲線擬合復雜關系，正則化線性回歸通過加約束來防止模型過于復雜。

一、線性回歸

線性回歸（Linear Regression）是什么？線性回歸是一種統計方法，用于建模兩個或多個變量之間的關系。它假設因變量和自變量之間的關系是線性的，并試圖找到最小化誤差平方和的最佳擬合直線。

如何實現線性回歸模型并進行可視化？

在Python中實現一個線性回歸模型并進行可視化，可以使用scikit-learn庫來擬合模型，并使用matplotlib庫來進行可視化。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.model_selection import train_test_split # 生成一些示例數據 np.random.seed(0) # 設置隨機種子以獲得可重復的結果 X = 2 * np.random.rand(100, 1) # 生成100個0到2之間的隨機數作為自變量 y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1) # 生成因變量，其中加入了隨機噪聲 # 將數據集拆分為訓練集和測試集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) # 創建線性回歸模型并擬合訓練數據 model = LinearRegression() model.fit(X_train, y_train) # 使用模型進行預測 y_pred = model.predict(X_test) # 可視化結果 plt.scatter(X, y, color='blue', label='Data Points') # 繪制數據點 plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=2, label='Regression Line') # 繪制回歸線 plt.xlabel('X') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.title('Linear Regression') plt.show() # 打印模型參數 print(f'Intercept: {model.intercept_[0]}') print(f'Coefficient: {model.coef_[0][0]}')

二、多項式回歸

多項式回歸（Polynomial Regression）是什么？多項式回歸是線性回歸的一種推廣，它允許因變量和自變量之間存在非線性關系。通過在傳統的線性回歸模型中增加變量的高次項（如平方項、立方項等），來捕捉數據中的非線性關系。

如何實現多項式回歸模型并進行可視化？在Python中實現多項式回歸模型并進行可視化，可以使用numpy來生成數據和計算多項式特征，scikit-learn的LinearRegression來擬合模型，以及matplotlib來進行可視化。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # 生成一些示例數據 np.random.seed(0) X = np.sort(5 * np.random.rand(40, 1), axis=0) # 生成40個0到5之間的隨機數并排序作為自變量 y = np.sin(X).ravel() + np.random.normal(0, 0.1, X.shape[0]) # 生成因變量，其中加入了隨機噪聲 # 定義多項式的次數 degree = 3 # 創建多項式特征 poly = PolynomialFeatures(degree) X_poly = poly.fit_transform(X) # 創建線性回歸模型并擬合多項式特征數據 model = LinearRegression() model.fit(X_poly, y) # 使用模型進行預測 X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1) # 生成測試數據 X_test_poly = poly.transform(X_test) y_pred = model.predict(X_test_poly) # 可視化結果 plt.scatter(X, y, color='blue', label='Data Points') # 繪制數據點 plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=2, label='Polynomial Regression') # 繪制多項式回歸曲線 plt.xlabel('X') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.title(f'Polynomial Regression (degree={degree})') plt.show() # 打印模型參數（可選） # 由于多項式回歸的系數較多，這里只打印出來供參考，通常不會直接解釋這些系數 print("Model coefficients:", model.coef_) print("Model intercept:", model.intercept_)

三、正則化線性回歸

正則化線性回歸（Regularized Linear Regression）是什么？正則化線性回歸是一種用于處理線性回歸模型過擬合問題的技術。通過在模型的損失函數中引入額外的懲罰項，限制模型參數的大小，從而減少過擬合的風險。

正則化線性回歸類型有哪些？嶺回歸側重于通過最小化參數平方和來防止模型過擬合，尤其適用于處理共線性問題；Lasso回歸則強調稀疏性，通過推動參數變為零來實現特征選擇；彈性網絡回歸結合了嶺回歸和Lasso回歸的特點，平衡了正則化項，既處理過擬合又進行特征選擇。

如何實現正則化線性回歸模型并進行可視化？在Python中實現正則化線性回歸模型并進行可視化，可以使用scikit-learn庫來實現嶺回歸（Ridge Regression）、Lasso回歸以及彈性網絡回歸（Elastic Net Regression），并使用matplotlib庫來可視化結果。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso, ElasticNet from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.pipeline import make_pipeline from sklearn.model_selection import train_test_split # 生成示例數據 np.random.seed(0) X = 2 * np.random.rand(100, 1) - 1 # 生成-1到1之間的隨機數作為自變量 y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1) * 0.5 # 生成因變量，加入隨機噪聲 # 標準化數據（對于Lasso和ElasticNet很重要） scaler = StandardScaler() X_scaled = scaler.fit_transform(X) # 拆分數據集為訓練集和測試集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42) # 定義正則化參數 alpha = 1.0 # 創建嶺回歸模型并擬合數據 ridge = Ridge(alpha=alpha) ridge.fit(X_train, y_train) # 創建Lasso回歸模型并擬合數據 lasso = Lasso(alpha=alpha) lasso.fit(X_train, y_train) # 創建彈性網絡回歸模型并擬合數據（這里使用l1_ratio=0.5表示L1和L2正則化的混合） elastic_net = ElasticNet(alpha=alpha, l1_ratio=0.5) elastic_net.fit(X_train, y_train) # 使用模型進行預測 X_test_scaled = scaler.transform(X_test) # 注意：測試數據也需要經過相同的標準化處理 y_pred_ridge = ridge.predict(X_test_scaled) y_pred_lasso = lasso.predict(X_test_scaled) y_pred_elastic_net = elastic_net.predict(X_test_scaled) # 可視化結果 plt.scatter(X_test, y_test, color='blue', label='Data Points') # 繪制數據點 plt.plot(X_test, y_pred_ridge, color='red', linewidth=2, label='Ridge Regression') # 繪制嶺回歸線 plt.plot(X_test, y_pred_lasso, color='green', linewidth=2, label='Lasso Regression') # 繪制Lasso回歸線 plt.plot(X_test, y_pred_elastic_net, color='purple', linewidth=2, label='Elastic Net Regression') # 繪制彈性網絡回歸線 plt.xlabel('X') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.title('Regularized Linear Regression') plt.show()