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回歸（Regression）是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一種基本方法，其目標(biāo)是通過(guò)分析自變量與因變量之間的關(guān)系，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)因變量的值。

線性回歸、多項(xiàng)式回歸、正則化線性回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的回歸分析方法。其中線性回歸用直線擬合數(shù)據(jù)關(guān)系，多項(xiàng)式回歸用曲線擬合復(fù)雜關(guān)系，正則化線性回歸通過(guò)加約束來(lái)防止模型過(guò)于復(fù)雜。

一、線性回歸

線性回歸（Linear Regression）是什么？線性回歸是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于建模兩個(gè)或多個(gè)變量之間的關(guān)系。它假設(shè)因變量和自變量之間的關(guān)系是線性的，并試圖找到最小化誤差平方和的最佳擬合直線。

如何實(shí)現(xiàn)線性回歸模型并進(jìn)行可視化？

在Python中實(shí)現(xiàn)一個(gè)線性回歸模型并進(jìn)行可視化，可以使用scikit-learn庫(kù)來(lái)擬合模型，并使用matplotlib庫(kù)來(lái)進(jìn)行可視化。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression

from sklearn.model_selection import train_test_split



# 生成一些示例數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)  # 設(shè)置隨機(jī)種子以獲得可重復(fù)的結(jié)果

X = 2 * np.random.rand(100, 1)  # 生成100個(gè)0到2之間的隨機(jī)數(shù)作為自變量

y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)  # 生成因變量，其中加入了隨機(jī)噪聲



# 將數(shù)據(jù)集拆分為訓(xùn)練集和測(cè)試集

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)



# 創(chuàng)建線性回歸模型并擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)

model = LinearRegression()

model.fit(X_train, y_train)



# 使用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

y_pred = model.predict(X_test)



# 可視化結(jié)果

plt.scatter(X, y, color='blue', label='Data Points')  # 繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)

plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=2, label='Regression Line')  # 繪制回歸線

plt.xlabel('X')

plt.ylabel('y')

plt.legend()

plt.title('Linear Regression')

plt.show()



# 打印模型參數(shù)

print(f'Intercept: {model.intercept_[0]}')

print(f'Coefficient: {model.coef_[0][0]}')

二、多項(xiàng)式回歸

多項(xiàng)式回歸（Polynomial Regression）是什么？多項(xiàng)式回歸是線性回歸的一種推廣，它允許因變量和自變量之間存在非線性關(guān)系。通過(guò)在傳統(tǒng)的線性回歸模型中增加變量的高次項(xiàng)（如平方項(xiàng)、立方項(xiàng)等），來(lái)捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系。

如何實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式回歸模型并進(jìn)行可視化？在Python中實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式回歸模型并進(jìn)行可視化，可以使用numpy來(lái)生成數(shù)據(jù)和計(jì)算多項(xiàng)式特征，scikit-learn的LinearRegression來(lái)擬合模型，以及matplotlib來(lái)進(jìn)行可視化。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures



# 生成一些示例數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)

X = np.sort(5 * np.random.rand(40, 1), axis=0)  # 生成40個(gè)0到5之間的隨機(jī)數(shù)并排序作為自變量

y = np.sin(X).ravel() + np.random.normal(0, 0.1, X.shape[0])  # 生成因變量，其中加入了隨機(jī)噪聲



# 定義多項(xiàng)式的次數(shù)

degree = 3



# 創(chuàng)建多項(xiàng)式特征

poly = PolynomialFeatures(degree)

X_poly = poly.fit_transform(X)



# 創(chuàng)建線性回歸模型并擬合多項(xiàng)式特征數(shù)據(jù)

model = LinearRegression()

model.fit(X_poly, y)



# 使用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)  # 生成測(cè)試數(shù)據(jù)

X_test_poly = poly.transform(X_test)

y_pred = model.predict(X_test_poly)



# 可視化結(jié)果

plt.scatter(X, y, color='blue', label='Data Points')  # 繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)

plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=2, label='Polynomial Regression')  # 繪制多項(xiàng)式回歸曲線

plt.xlabel('X')

plt.ylabel('y')

plt.legend()

plt.title(f'Polynomial Regression (degree={degree})')

plt.show()



# 打印模型參數(shù)（可選）

# 由于多項(xiàng)式回歸的系數(shù)較多，這里只打印出來(lái)供參考，通常不會(huì)直接解釋這些系數(shù)

print("Model coefficients:", model.coef_)

print("Model intercept:", model.intercept_)

三、正則化線性回歸

正則化線性回歸（Regularized Linear Regression）是什么？正則化線性回歸是一種用于處理線性回歸模型過(guò)擬合問(wèn)題的技術(shù)。通過(guò)在模型的損失函數(shù)中引入額外的懲罰項(xiàng)，限制模型參數(shù)的大小，從而減少過(guò)擬合的風(fēng)險(xiǎn)。

正則化線性回歸類型有哪些？嶺回歸側(cè)重于通過(guò)最小化參數(shù)平方和來(lái)防止模型過(guò)擬合，尤其適用于處理共線性問(wèn)題；Lasso回歸則強(qiáng)調(diào)稀疏性，通過(guò)推動(dòng)參數(shù)變?yōu)榱銇?lái)實(shí)現(xiàn)特征選擇；彈性網(wǎng)絡(luò)回歸結(jié)合了嶺回歸和Lasso回歸的特點(diǎn)，平衡了正則化項(xiàng)，既處理過(guò)擬合又進(jìn)行特征選擇。

如何實(shí)現(xiàn)正則化線性回歸模型并進(jìn)行可視化？在Python中實(shí)現(xiàn)正則化線性回歸模型并進(jìn)行可視化，可以使用scikit-learn庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)嶺回歸（Ridge Regression）、Lasso回歸以及彈性網(wǎng)絡(luò)回歸（Elastic Net Regression），并使用matplotlib庫(kù)來(lái)可視化結(jié)果。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso, ElasticNet

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

from sklearn.pipeline import make_pipeline

from sklearn.model_selection import train_test_split



# 生成示例數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)

X = 2 * np.random.rand(100, 1) - 1  # 生成-1到1之間的隨機(jī)數(shù)作為自變量

y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1) * 0.5  # 生成因變量，加入隨機(jī)噪聲



# 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)（對(duì)于Lasso和ElasticNet很重要）

scaler = StandardScaler()

X_scaled = scaler.fit_transform(X)



# 拆分?jǐn)?shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測(cè)試集

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)



# 定義正則化參數(shù)

alpha = 1.0



# 創(chuàng)建嶺回歸模型并擬合數(shù)據(jù)

ridge = Ridge(alpha=alpha)

ridge.fit(X_train, y_train)



# 創(chuàng)建Lasso回歸模型并擬合數(shù)據(jù)

lasso = Lasso(alpha=alpha)

lasso.fit(X_train, y_train)



# 創(chuàng)建彈性網(wǎng)絡(luò)回歸模型并擬合數(shù)據(jù)（這里使用l1_ratio=0.5表示L1和L2正則化的混合）

elastic_net = ElasticNet(alpha=alpha, l1_ratio=0.5)

elastic_net.fit(X_train, y_train)



# 使用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

X_test_scaled = scaler.transform(X_test)  # 注意：測(cè)試數(shù)據(jù)也需要經(jīng)過(guò)相同的標(biāo)準(zhǔn)化處理

y_pred_ridge = ridge.predict(X_test_scaled)

y_pred_lasso = lasso.predict(X_test_scaled)

y_pred_elastic_net = elastic_net.predict(X_test_scaled)



# 可視化結(jié)果

plt.scatter(X_test, y_test, color='blue', label='Data Points')  # 繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)

plt.plot(X_test, y_pred_ridge, color='red', linewidth=2, label='Ridge Regression')  # 繪制嶺回歸線

plt.plot(X_test, y_pred_lasso, color='green', linewidth=2, label='Lasso Regression')  # 繪制Lasso回歸線

plt.plot(X_test, y_pred_elastic_net, color='purple', linewidth=2, label='Elastic Net Regression')  # 繪制彈性網(wǎng)絡(luò)回歸線

plt.xlabel('X')

plt.ylabel('y')

plt.legend()

plt.title('Regularized Linear Regression')

plt.show()