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其中：

是時間點的變量值（例如，某公司當天的股票價格）。
是模型參數，它們描述了過去個時間點對當前時刻的影響。
是白噪聲（誤差項）。

向量自回歸（VAR）模型的推導

VAR 模型擴展了自回歸模型的思路，用來處理多個相互關聯的時間序列。假設我們有??個變量（如多個公司的股票價格或不同地區的氣溫），則這些變量不僅僅是受自身過去的影響，還受到其他變量的歷史值影響。

對于一個VAR(p)模型，可以表示為：

其中：

是一個的向量，包含個變量的值（比如當天多個公司股票的價格）。
是一個常數項向量。
是的矩陣，表示過去第天各個變量對當前的影響。
是的白噪聲向量。

這樣，對于多個變量，VAR模型考慮了它們之間的交互影響。我們要根據歷史數據估計這些矩陣中的系數。

最小二乘法估計參數

為了估計 VAR 模型中的參數矩陣，我們通常使用最小二乘法。這涉及將歷史數據表示為線性方程組，并通過最小化誤差項來估計模型系數。

步驟概述

數據預處理：準備好時間序列數據，創建滯后變量（即之前時間點的數據）。
構建方程：將歷史數據表達為線性回歸方程，并使用矩陣形式進行計算。
參數估計：利用最小二乘法解出參數矩陣。
預測：使用估計出來的參數矩陣進行未來數據的預測。

完整案例

我們生成一個簡單的時間序列虛擬數據集~

接下來，我們將逐步實現VAR模型的核心步驟。

數據預處理

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt



# 1. 生成虛擬數據作為案例數據集

np.random.seed(42)



# 定義時間長度

n = 500  # 我們生成500個時間點的數據



# 初始化變量

gdp_growth = np.zeros(n)

unemployment_rate = np.zeros(n)

cpi = np.zeros(n)



# 隨機初始值

gdp_growth[0] = np.random.normal(2, 0.5)  # 初始GDP增長率

unemployment_rate[0] = np.random.normal(5, 0.5)  # 初始失業率

cpi[0] = np.random.normal(100, 2)  # 初始CPI



# 人為設置數據生成的規則（根據上一期的值和一些噪聲）

for t in range(1, n):

    gdp_growth[t] = 0.8 * gdp_growth[t-1] - 0.2 * cpi[t-1] + np.random.normal(0, 0.5)

    unemployment_rate[t] = 0.7 * unemployment_rate[t-1] - 0.1 * gdp_growth[t-1] + np.random.normal(0, 0.2)

    cpi[t] = 0.5 * cpi[t-1] + 0.3 * gdp_growth[t-1] + np.random.normal(0, 1)



# 將生成的數據整理為DataFrame

data = pd.DataFrame({

    'GDP_growth': gdp_growth,

    'unemployment_rate': unemployment_rate,

    'CPI': cpi

})

variables = ['GDP_growth', 'unemployment_rate', 'CPI']

data = data[variables].dropna()

data = (data - data.mean()) / data.std()



# 查看數據

print(data.head())

創建滯后變量

# 定義滯后變量的生成函數

def create_lagged_data(data, max_lag):

    lagged_data = []

    for lag in range(1, max_lag + 1):

        lagged_data.append(data.shift(lag))

    return pd.concat(lagged_data, axis=1)



# 假設我們使用2個滯后變量

max_lag = 2

lagged_data = create_lagged_data(data, max_lag)



# 將滯后變量與原始數據拼接，去掉缺失的初始行

lagged_data = lagged_data.dropna()

X = lagged_data.values

Y = data[max_lag:].values

參數估計（最小二乘法）

# 使用最小二乘法估計VAR模型參數

def estimate_var(X, Y):

    # 增加常數項（攔截項）

    X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])



    # OLS公式： B = (X^T X)^(-1) X^T Y

    B = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ Y

    return B



# 估計參數矩陣

B = estimate_var(X, Y)

print("估計的系數矩陣:\n", B)

預測未來值

# 進行預測

def predict(X, B):

    X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])  # 加入常數項

    return X @ B



# 預測未來值

predicted_values = predict(X, B)

繪制數據分析圖

圖1：變量趨勢圖

plt.figure(figsize=(10, 6))

for col in data.columns:

    plt.plot(data.index, data[col], label=col)

plt.title("Trends of Variables Over Time")  # 標題改為英文

plt.xlabel("Time")  # x軸標簽改為英文

plt.ylabel("Standardized Value")  # y軸標簽改為英文

plt.legend()

plt.show()

圖2：滯后相關性圖

from pandas.plotting import lag_plot

plt.figure(figsize=(10, 6))

for i, var in enumerate(variables):

    plt.subplot(2, 2, i+1)

    lag_plot(data[var], lag=1)

    plt.title(f'{var} Lag Relationship') 

plt.tight_layout()

plt.show()

圖3：殘差分析圖

residuals = Y - predicted_values

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(residuals)

plt.title("Residual Analysis")

plt.xlabel("Time")

plt.ylabel("Residuals") 

plt.show()

圖4：預測結果對比圖

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(Y[:, 0], label="True Values")

plt.plot(predicted_values[:, 0], label="Predicted Values", linestyle="--")

plt.title("Comparison of Predicted and True Values (GDP Growth Rate)")

plt.xlabel("Time") 

plt.ylabel("Value")

plt.legend()

plt.show()