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自回歸就是通過前幾天的數(shù)據(jù)來預(yù)測今天的值，類似于“靠前幾天的自己，來預(yù)測今天的自己”。

3. 滑動(dòng)平均（Moving Average，簡稱MA）

滑動(dòng)平均就是用之前的“誤差”來調(diào)整當(dāng)前的預(yù)測。

再用午飯花費(fèi)舉例：假設(shè)你每天都會(huì)做預(yù)算，但有時(shí)會(huì)因?yàn)橐恍┩话l(fā)情況（比如今天特別餓，或者看到喜歡的菜）而多花了錢。這些“意外的誤差”會(huì)影響你接下來的花費(fèi)。

滑動(dòng)平均的公式看起來是這樣的：

滑動(dòng)平均就是利用之前“預(yù)算偏差”來調(diào)整今天的預(yù)算，類似于“回顧前幾天的誤差，來修正今天的自己”。

4. 自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）

現(xiàn)在，我們來把「自回歸」和「滑動(dòng)平均」結(jié)合起來。ARMA 模型就是在用前幾天的數(shù)值（自回歸）做預(yù)測的同時(shí)，還考慮到之前誤差的影響（滑動(dòng)平均），得到一個(gè)更準(zhǔn)確的預(yù)測模型。

公式表示：

通過 ARMA 模型，我們既利用了過去的數(shù)據(jù)趨勢（自回歸），也參考了之前的誤差（滑動(dòng)平均），讓預(yù)測更接近真實(shí)情況。

舉個(gè)簡單的小例子

假設(shè)我們記錄了過去幾天的氣溫變化，發(fā)現(xiàn)今天的氣溫和前兩天的氣溫（自回歸部分）以及前一天的誤差（滑動(dòng)平均部分）有關(guān)。

假設(shè)：

這樣，我們就得到了一個(gè)基于 ARMA 模型的預(yù)測。

事實(shí)上，ARMA 模型是一種結(jié)合自回歸和滑動(dòng)平均的方法，能夠利用歷史數(shù)據(jù)的趨勢和誤差去預(yù)測未來值。

下面，咱們從原理和案例方面再來和大家聊聊~

ARMA 模型

ARMA 模型結(jié)合了兩部分：自回歸 (AR) 和 滑動(dòng)平均 (MA)。

假設(shè)：

1. 自回歸部分 (AR)

自回歸模型通過先前的序列值來預(yù)測當(dāng)前值，公式為：

2. 滑動(dòng)平均部分 (MA)

滑動(dòng)平均模型使用過去的誤差項(xiàng)預(yù)測當(dāng)前值：

3. 綜合 AR 和 MA

綜合 AR 和 MA 兩部分后，得到 ARMA 模型公式：

數(shù)據(jù)集選擇和下載

我們在 Kaggle 上選擇一個(gè)合適的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，如「每日溫度」、「股票價(jià)格」等。之后手動(dòng)實(shí)現(xiàn) ARMA 模型并通過圖表展示分析結(jié)果。

Python實(shí)現(xiàn)

首先，咱們使用?daily-min-temperatures.csv?數(shù)據(jù)集。

import pandas as pd

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf



# 讀取數(shù)據(jù)集

data = pd.read_csv('daily-min-temperatures.csv', parse_dates=['Date'], index_col='Date')

temperature = data['Temp'].values



# 繪制時(shí)間序列圖

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(data.index, temperature, color='dodgerblue')

plt.title("Daily Minimum Temperatures")

plt.xlabel("Date")

plt.ylabel("Temperature")

plt.show()



# 繪制自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(121)

plot_acf(temperature, lags=30, color='blue', ax=plt.gca())

plt.title("Autocorrelation (ACF)")



plt.subplot(122)

plot_pacf(temperature, lags=30, color='red', ax=plt.gca())

plt.title("Partial Autocorrelation (PACF)")

plt.tight_layout()

plt.show()



# 初始化ARMA模型參數(shù)

p, q = 2, 2  # 設(shè)置自回歸和滑動(dòng)平均的階數(shù)

phi = np.random.randn(p)

theta = np.random.randn(q)

mu = np.mean(temperature)

n = len(temperature)



# 自定義 ARMA 模型擬合函數(shù)

def arma_model(temperature, phi, theta, p, q):

    Y_pred = np.zeros(n)

    residuals = np.zeros(n)



    for t in range(max(p, q), n):

        ar_term = np.sum([phi[i] * temperature[t - i - 1] for i in range(p)])

        ma_term = np.sum([theta[i] * residuals[t - i - 1] for i in range(q)])

        Y_pred[t] = mu + ar_term + ma_term

        residuals[t] = temperature[t] - Y_pred[t]  # 計(jì)算殘差

    return Y_pred, residuals



# 預(yù)測并計(jì)算殘差

Y_pred, residuals = arma_model(temperature, phi, theta, p, q)



# 繪制擬合效果圖

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(data.index, temperature, label="Original", color='dodgerblue')

plt.plot(data.index, Y_pred, label="ARMA Fit", color='coral')

plt.title("ARMA Model Fitting")

plt.xlabel("Date")

plt.ylabel("Temperature")

plt.legend()

plt.show()



# 繪制殘差圖

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(data.index, residuals, color='purple')

plt.title("Residuals of ARMA Model")

plt.xlabel("Date")

plt.ylabel("Residuals")

plt.show()