一、特征值與特征向量的需求

數據降維：通過映射函數將高維數據轉換為低維表示，旨在去除冗余和噪音、提高計算效率和算法性能，同時增強數據的可視化和解釋性。

1. 本質：

數據降維的本質是一個映射函數，該函數可以將原始的高維數據映射到一個低維空間。降維過程中，數據的某些特征或屬性可能會被合并或舍棄，從而得到一個新的、維度更低的數據表示。

2. 原因：

• 冗余和噪音信息： 原始的高維數據中往往包含大量的冗余信息和噪音，這些信息在實際應用中（如圖像識別、數據挖掘等）可能會造成誤差，降低算法的準確性。通過降維，可以去除這些冗余和噪音信息，提高后續(xù)處理的精度。
• 計算復雜性： 高維數據在處理時通常會面臨計算復雜度高的問題，如“維數災難”。降維可以降低數據的維度，從而簡化計算過程，提高計算效率。
• 數據可視化： 高維數據難以可視化，而低維數據更容易在圖形上進行展示和解釋。通過降維，可以將數據轉換到低維空間，便于人們直觀地理解和分析數據的結構和特征。

3. 目的：

• 提高算法性能： 通過去除冗余和噪音信息，降維可以提高后續(xù)算法（如分類器、聚類算法等）的性能和準確性。
• 降低計算成本： 降維可以減少數據的維度，從而降低計算復雜度和存儲成本，使得大規(guī)模數據處理變得更加可行和高效。
• 數據可視化和解釋性： 降維后的數據更容易進行可視化和解釋，有助于人們直觀地理解數據的分布和特征。

特征提取：特征提取是從原始數據中提煉出有意義、非冗余的信息，這一過程涉及特征構造和特征選擇兩個關鍵步驟。

一、特征構造

1. 數據預處理：如標準化、歸一化等，以確保數據的一致性和可比性。
2. 信號增強：應用濾波器或變換以增強數據中的有用信號并減少噪音。
3. 局部特征提取：針對有序或結構化數據（如圖像、時間序列），提取局部模式或結構。

二、特征選擇

1. 特征子集生成：使用搜索策略（如貪心搜索、遺傳算法等）從特征集中生成候選特征子集。
2. 評估標準定義：確定用于評估特征子集質量的準則，如相關性、預測性能等。
3. 評估標準估算：使用統(tǒng)計方法、機器學習模型等評估候選特征子集的性能。

二、特征值與特征向量的求解

構造特征多項式：當我們想要找出一個給定矩陣的特征值和特征向量時，首先需要構造特征多項式。

1. 確定矩陣和變量：
   假設我們有一個n×n的矩陣A，其元素為aij（其中i,j=1,2,…,n）。我們想要找到這個矩陣的特征值和特征向量。為此，我們引入一個變量λ，這個變量將代表特征值。
2. 構造特征矩陣：
   接下來，我們構造一個特殊的矩陣，稱為特征矩陣或特征多項式中的矩陣，記作A?λI。這里，I是n×n的單位矩陣，即對角線上元素為1，其余元素為0的矩陣。

3. 形成特征多項式：特征多項式是一個關于λ的多項式，它是通過計算特征矩陣A?λI的行列式得到的。這個多項式記作f(λ)，并定義為：f(λ)=det(A?λI)行列式det(A?λI)的計算涉及到對矩陣進行拉普拉斯展開，這會得到一個關于λ的n次多項式。

求解特征多項式：在構造了特征多項式之后，下一步是求解這個多項式以找出矩陣的特征值。

1. 設置并求解特征方程：為了找到特征值，將特征多項式設置為零，即解方程 f(λ)=0。這個方程稱為矩陣 A 的特征方程。它的根就是 A 的特征值。求解特征方程可能涉及到使用代數方法（如因式分解、求根公式等）或數值方法（如牛頓法、二分法等），具體取決于多項式的復雜性和可解性。
2. 找出特征值：特征方程的解，即特征多項式 f(λ)?的根，是矩陣 A 的特征值。特征值可能是實數或復數，這取決于特征多項式的具體形式。在某些情況下，特征值可能有重根，這意味著同一個特征值對應多個線性無關的特征向量。
3. 驗證特征值：在求得特征值后，可以通過將其代入原特征方程 (A?λI)x=0 來驗證它們的正確性。如果一個值使得方程有非零解，那么它就是特征值。

三、特征值與特征向量的應用

主成分分析（PCA）：利用特征值與特征向量，將高維數據投影到低維空間，實現降維并保留主要特征。

核心思想：PCA使用原始數據的協(xié)方差矩陣的特征向量作為新的坐標軸（主成分），以降低數據維度并保留主要特征。

基本步驟：

1. 標準化數據，消除量綱差異。
2. 計算協(xié)方差矩陣，衡量特征間的線性相關性。
3. 求解特征值與特征向量：特征值代表數據方差的比例，特征向量是新坐標軸的方向。
4. 選擇主成分：按特征值大小選擇前k個主成分。
5. 數據投影：將原始數據投影到選定的主成分上，實現降維。

應用場景：降維、噪聲去除、特征提取、數據壓縮。

推薦系統(tǒng)：特征值與特征向量在推薦系統(tǒng)中通過矩陣分解捕捉用戶偏好和項目特征，實現個性化推薦。

基本概念：

• 特征值：代表數據方差的比例，用于衡量信息的重要性。
• 特征向量：代表數據的方向，用于發(fā)現數據中的隱藏模式或結構。

推薦系統(tǒng)背景：

• 用戶-項目矩陣：通常表示為用戶對項目的評分矩陣，其中缺失值表示未評分。
• 問題定義：預測用戶對未評分項目的可能評分，從而提供個性化推薦。

特征值與特征向量的應用：

• 矩陣分解：
  • 利用特征值與特征向量對用戶-項目矩陣進行分解，將其近似為低秩矩陣的乘積。
  • 常見的分解方法包括奇異值分解（SVD）和非負矩陣分解（NMF）。
• 降維與去噪：
  • 通過保留最重要的特征值對應的特征向量，實現數據的降維處理。
  • 降維后的數據更易于處理，同時能夠去除原始數據中的噪聲和冗余信息。
• 隱因子模型：
  • 特征向量可以解釋為隱因子，代表用戶的偏好或項目的特征。
  • 通過隱因子模型，可以發(fā)現用戶與項目之間的潛在關聯(lián)，提高推薦的準確性。

推薦過程：

1. 數據準備：收集用戶歷史行為數據，構建用戶-項目矩陣。
2. 矩陣分解：利用特征值與特征向量對用戶-項目矩陣進行分解。
3. 隱因子提取：從分解后的矩陣中提取隱因子，表示用戶偏好和項目特征。
4. 預測評分：基于隱因子模型預測用戶對未評分項目的評分。
5. 生成推薦：根據預測評分排序，生成個性化推薦列表。

文章轉自微信公眾號@架構師帶你玩轉AI

#你可能也喜歡這些API文章!

使用這些基本 REST API 最佳實踐構建出色的 API

如何使用API：初學者的分步教程

使用NestJS和Prisma構建REST API：身份驗證