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當我們機器學習的學習目標是極大化降低（經(jīng)驗）損失函數(shù)，這點和傳統(tǒng)的優(yōu)化是比較相似的，那么如何實現(xiàn)這個目標呢？我們第一反應可能是直接求解損失函數(shù)最小值的公式/解析解（如最小二乘法），獲得最優(yōu)的模型參數(shù)。但是，通常機器學習模型的損失函數(shù)較復雜，很難直接求最優(yōu)解。幸運的是，我們還可以通過優(yōu)化算法（如遺傳算法、梯度下降算法、牛頓法等）有限次迭代優(yōu)化模型參數(shù)，以盡可能降低損失函數(shù)的值，得到較優(yōu)的參數(shù)值（數(shù)值解）。上述去搜索一組最\較優(yōu)參數(shù)解w所使用的算法，即是優(yōu)化算法。下圖優(yōu)化算法的總結(jié)：（圖與本文內(nèi)容較相符，摘自@teekee）
最小二乘法常用在機器學習回歸模型求解析解（對于復雜的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法通過這方法求解），其幾何意義是高維空間中的一個向量在低維子空間的投影。
如下以一元線性回歸用最小二乘法求解為例。
其損失函數(shù)mse為：
對損失函數(shù)求極小值，也就是一階導數(shù)為0。通過偏導可得關(guān)于參數(shù)a及偏置b的方程組：
代入數(shù)值求解上述線性方程組，可以求解出a，b的參數(shù)值。也就是求解出上圖擬合的那條直線ax+b。
注：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法以梯度下降類算法較為高效，也是主流的算法。而遺傳算法、貪心算法、模擬退火等優(yōu)化算法用的比較少。
遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）是模擬自然界遺傳和生物進化論而成的一種并行隨機搜索最優(yōu)化方法。與自然界中“優(yōu)勝略汰，適者生存”的生物進化原理相似，遺傳算法就是在引入優(yōu)化參數(shù)形成的編碼串聯(lián)群體中，按照所選擇的適應度函數(shù)并通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進行篩選，使適應度好的個體被保留，適應度差的個體被淘汰，新的群體既繼承了上一代的信息，又優(yōu)于上一代。這樣反復循環(huán)迭代，直至滿足條件。
梯度下降算法可以直觀理解成一個下山的方法，將損失函數(shù)J(w)比喻成一座山，我們的目標是到達這座山的山腳（即求解出最優(yōu)模型參數(shù)w使得損失函數(shù)為最小值）。
下山要做的無非就是“往下坡的方向走，走一步算一步”，而在損失函數(shù)這座山上，每一位置的下坡的方向也就是它的負梯度方向（直白點，也就是山的斜向下的方向）。在每往下走到一個位置的時候，求解當前位置的梯度，向這一步所在位置沿著最陡峭最易下山的位置再走一步。這樣一步步地走下去，一直走到覺得我們已經(jīng)到了山腳。當然這樣走下去，有可能我們不是走到山腳（全局最優(yōu)，Global cost minimun），而是到了某一個的小山谷（局部最優(yōu)，Local cost minimun），這也后面梯度下降算法的可進一步調(diào)優(yōu)的地方。對應的算法步驟，直接截我之前的圖：
梯度下降是一個大類，常見的梯度下降算法及優(yōu)缺點，如下圖：
對于深度學習而言“隨機梯度下降, SGD”，其實就是基于小批量（mini-batch）的隨機梯度下降，當batchsize為1也就是在線學習優(yōu)化。
隨機梯度下降是在梯度下降算法效率上做了優(yōu)化，不使用全量樣本計算當前的梯度，而是使用小批量（mini-batch）樣本來估計梯度，大大提高了效率。原因在于使用更多樣本來估計梯度的方法的收益是低于線性的，對于大多數(shù)優(yōu)化算法基于梯度下降，如果每一步中計算梯度的時間大大縮短，則它們會更快收斂。且訓練集通常存在冗余，大量樣本都對梯度做出了非常相似的貢獻。此時基于小批量樣本估計梯度的策略也能夠計算正確的梯度，但是節(jié)省了大量時間。
對于mini-batch的batchsize的選擇是為了在內(nèi)存效率（時間）和內(nèi)存容量（空間）之間尋找最佳平衡。
還可以自適應調(diào)節(jié)batchsize，參見《Small Batch or Large Batch? Peifeng Yin》
Momentum算法在梯度下降中加入了物理中的動量的概念，模擬物體運動時候的慣性，即在更新的時候在一定程度上保留之前更新的方向，同時利用當前batch的梯度對之前的梯度進行微調(diào)，這樣一來，可以在一定程度上增加穩(wěn)定性，從而學習的更快，并且有一定的擺脫局部最優(yōu)的能力。
該算法引入了變量 v 作為參數(shù)在參數(shù)空間中持續(xù)移動的速度向量，速度一般可以設(shè)置為負梯度的指數(shù)衰減滑動平均值。對于一個給定需要最小化的代價函數(shù)，動量可以表達為：更新后的梯度 = 折損系數(shù)γ動量項+ 學習率?當前的梯度。
其中 ? 為學習率，γ ∈ (0, 1] 為動量系數(shù)，v 是速度向量。一般來說，梯度下降算法下降的方向為局部最速的方向（數(shù)學上稱為最速下降法），它的下降方向在每一個下降點一定與對應等高線的切線垂直，因此這也就導致了 GD 算法的鋸齒現(xiàn)象。加入動量法的梯度下降是令梯度直接指向最優(yōu)解的策略之一。
Nesterov動量是動量方法的變種，也稱作Nesterov Accelerated Gradient（NAG）。在預測參數(shù)下一次的位置之前，我們已有當前的參數(shù)和動量項，先用(θ?γvt?1)下一次出現(xiàn)位置的預測值作為參數(shù)，雖然不準確，但是大體方向是對的，之后用我們預測到的下一時刻的值來求偏導，讓優(yōu)化器高效的前進并收斂。
在平滑的凸函數(shù)的優(yōu)化中，對比批量梯度下降，NAG 的收斂速度超出 1/k 到 1/(k^2)
Adagrad 亦稱為自適應梯度（adaptive gradient），允許學習率基于參數(shù)進行調(diào)整，而不需要在學習過程中人為調(diào)整學習率。Adagrad 根據(jù)不常用的參數(shù)進行較大幅度的學習率更新，根據(jù)常用的參數(shù)進行較小幅度的學習率更新。然而 Adagrad 的最大問題在于，在某些情況，學習率變得太小，學習率單調(diào)下降使得網(wǎng)絡(luò)停止學習過程。
其中是梯度平方的積累量s，在進行參數(shù)更新時，學習速率要除以這個積累量的平方根，其中加上一個很小值是ε為了防止除0的出現(xiàn)。由于s 是逐漸增加的，那么學習速率是相對較快地衰減的。
RMSProp 算是對Adagrad算法的改進，主要是解決學習速率過快衰減的問題，它不是像AdaGrad算法那樣暴力直接的累加平方梯度，而是加了一個衰減系數(shù)γ 來控制歷史信息的獲取多少。
Adam 算法為兩種隨機梯度下降的優(yōu)點集合：
Adam 算法同時獲得了 AdaGrad 和 RMSProp 算法的優(yōu)點，像RMSprop 一樣存儲了過去梯度的平方 v的指數(shù)衰減平均值 ，也像 momentum 一樣保持了過去梯度 m 的指數(shù)衰減平均值：
如果 m 和 v被初始化為 0 向量，那它們就會向 0 偏置，所以做了偏差校正放大它們：
梯度更新能夠從梯度均值及梯度平方兩個角度進行自適應地調(diào)節(jié)，而不是直接由當前梯度決定。
牛頓法和梯度下降法相比，兩者都是迭代求解，不過梯度下降法是梯度求解（一階優(yōu)化），而牛頓法是用二階的海森矩陣的逆矩陣求解。相對而言，使用牛頓法收斂更快（迭代更少次數(shù)），但是每次迭代的時間比梯度下降法長（計算開銷更大，實際常用擬牛頓法替代）。
通俗來講，梯度下降法每次只從你當前所處位置選一個坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時，不僅會考慮坡度是否夠大，還會考慮你走了一步之后，后面坡度是否會變得更大。所以，可以說牛頓法比梯度下降法看得更遠一點，能更快地走到最底部。但是，牛頓法對初始值有一定要求，在非凸優(yōu)化問題中（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練），牛頓法很容易陷入鞍點（牛頓法步長會越來越?。荻认陆捣▌t更容易逃離鞍點（因此在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練中一般使用梯度下降法，高維空間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中存在大量鞍點）。
綜上， 對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化，常用梯度下降等較為高效的方法。梯度下降算法類有SGD、Momentum、Adam等算法可選。對于大多數(shù)任務(wù)而言，通?？梢灾苯酉仍囅翧dam，然后可以繼續(xù)在具體任務(wù)上驗證不同優(yōu)化器效果。
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