[ y = e^{-int p(x)dx} left[ int q(x)e^{int p(x)dx}dx + c right] ]
變量可分離方程
這種方程可以寫成( frac{dy}{dx} = g(y)f(x) )，通過分離變量求解。
解法步驟：
- 翻轉方程：( int g(y)dy = int f(x)dx )
- 積分兩邊，得到通解：( G(y) = F(x) + c )
高階微分方程
高階微分方程涉及更高階的導數，通常用于復雜系統的建模。
可降階方程
這類方程如( y” = f(x, y’) )，可以通過引入新變量降階。
步驟：
- 設( y’ = P(x) )，則( y” = P'(x) )。
- 代入方程求解( P(x) )。
- 對( P(x) )積分，得到通解。
微分方程的應用
微分方程在科學技術中有廣泛應用。它們用于描述物理現象、化學反應、經濟模型等。以下是幾個實際應用的例子：
物理學中的應用
微分方程用于描述運動定律、熱傳導、電磁場等。例如，牛頓第二定律可用微分方程表示。
生物學中的應用
種群增長模型、流行病傳播模型等常用微分方程描述。
FAQ
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問：什么是微分方程？
- 答：微分方程是描述函數及其導數之間關系的方程，常用于描述動態變化過程。
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問：微分方程有哪些應用？
- 答：微分方程廣泛應用于物理、化學、生物學、經濟學等領域，用于描述各種動態系統。
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問：如何求解一階線性微分方程？
- 答：一階線性微分方程可以通過分離變量或使用積分因子法求解。
微分方程作為一種強大的數學工具，為我們提供了理解和預測自然現象的能力。通過掌握微分方程的基本解法和應用，我們可以更好地解決復雜的實際問題。
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