其余子式 $M_{32}$ 就是去掉第三行和第二列后得到的行列式：

$$M_{32} = begin{vmatrix} 1 & 0
1 & 1
end{vmatrix}$$

1.2 代數余子式

代數余子式是在余子式前加上 $(-1)^{i+j}$ 的符號，其中 $i$ 和 $j$ 分別表示元素的行號和列號。這樣處理是為了保持行列式展開的符號一致性。

1.3 按行（列）展開定理

行列式的值等于其任意一行（列）各元素與其代數余子式乘積之和。按行展開公式為：

$$D = a{i1}A{i1} + a{i2}A{i2} + … + a{in}A{in}$$

按列展開公式類似，適用于列的元素。選擇包含較多零元素的行（列）進行展開可以簡化計算。

2. 異乘變零定理

異乘變零定理指出，若行列式中某行（列）元素與另一行（列）元素的代數余子式相乘后累加，其和為零。這一性質在簡化計算中非常有用。

2.1 理論解釋

假設行列式 $D$：

$$D = begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3
0 & 0 & 8 & 9
2 & 2 & 5 & 4
9 & 9 & 9 & 10
end{vmatrix}$$

用第4行元素與第1行元素的代數余子式相乘：

$$9A{11} + 9A{12} + 9A{13} + 10A{14} = 0$$

2.2 應用

通過構造新的行列式驗證異乘變零定理，可以幫助我們尋找行列式的解或簡化復雜的運算過程。

3. 拉普拉斯定理

拉普拉斯定理允許我們將行列式展開為多個小階的行列式，是理解高階行列式計算的關鍵工具。

3.1 k階子式

k階子式是指從n階行列式中取定k行和k列，所形成的交叉元素構成的行列式。通過去掉這些行和列，我們得到余子式。

3.2 拉普拉斯展開

在n階行列式中，任意選定k行，由這些行元素組成的k階子式與對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值。

4. 行列式相乘定理

當兩個同階行列式相乘時，其結果為一個新的行列式。行列式相乘定理為我們提供了一個計算復雜矩陣乘積的新方法。

4.1 運算規則

假設行列式 $D_1$ 和 $D_2$，相乘后的第1行第1個元素為 $D_1$ 的第1行與 $D_2$ 的第1列元素相乘之和，以此類推。

4.2 示例

$$begin{vmatrix} 1 & 1 & 1
2 & 0 & 0
0 & 0 & 3
end{vmatrix} times begin{vmatrix} 1 & 2 & 3
1 & 3 & 2
3 & 2 & 1
end{vmatrix} = begin{vmatrix} 5 & 7 & 6
2 & 4 & 6
9 & 6 & 3
end{vmatrix}$$

5. 行列式的性質

行列式的性質幫助我們理解其幾何意義和代數特性。

5.1 性質0：單位矩陣的行列式為1

單位矩陣是行列式為1的特殊矩陣。

5.2 性質1：全零行導致行列式為0

如果行列式中某行或某列元素全為0，則行列式的值為0。

5.3 性質2：成比例行導致行列式為0

如果兩行（列）成比例，則行列式為0。

6. 行列式的意義

行列式不僅是一個數值，更是向量間關系的刻畫。行列式不為零說明向量獨立，反之則不獨立。

6.1 幾何意義

行列式在幾何上表示向量圍成圖形的面積或體積。例如，二維平面中由兩個向量圍成的平行四邊形的面積就是行列式的值。

6.2 方程組解的判別

行列式的值影響方程組的解。當行列式不為零時，方程組有唯一解；為零時，可能無解或有無數解。

7. 行列式計算技巧

利用行列式的性質和定理，我們可以簡化計算。

7.1 消元法

通過消元法將矩陣轉換為上三角矩陣，行列式的值等于主對角線元素的乘積。

7.2 行列式公式

行列式的公式可以用于計算復雜矩陣的行列式值。對于n階矩陣，行列式的計算復雜度通常較高，但公式提供了一種系統化的計算方法。

FAQ

1. 問：行列式展開的實用意義是什么？

   • 答：行列式展開使得高階行列式的計算變得可行，并且是線性代數中許多其他定理和應用的基礎。

2. 問：如何選擇展開的行或列？

   • 答：通常選擇包含最多零元素的行或列進行展開，以簡化計算過程。

3. 問：行列式值為零意味著什么？

   • 答：行列式值為零意味著矩陣行或列之間存在線性相關性，導致解的獨立性喪失。

4. 問：行列式如何應用于方程組求解？

   • 答：通過行列式可以判斷方程組的解是否唯一，并通過克拉默法則求解。

5. 問：行列式的幾何解釋是什么？

   • 答：行列式在幾何上表示由向量圍成圖形的面積或體積，反映了向量的獨立性。