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二分圖廣泛應用于匹配問題和網絡流問題中，因為它的特殊結構使得這些問題的求解更為簡單和高效。

二分圖的判定方法

在實際應用中，我們需要判定一個給定的圖是否為二分圖。可以通過染色法來實現這一點，該方法涉及給圖的頂點染色，使得相鄰頂點的顏色不同。如果能夠成功染色，即可判定該圖是二分圖。以下是兩個經典的算法用于染色：

使用廣度優先搜索（BFS）

BFS 是一種常用的遍歷算法，可以用于二分圖判定。下面的代碼演示了如何使用 BFS 來判定一個圖是否為二分圖：

class Graph:
    def __init__(self, V):
        self.V = V
        self.graph = [[0]*V for _ in range(V)]
        self.colorArr = [-1]*self.V

    def isBipartiteUtil(self, src):
        queue = []
        queue.append(src)

        while queue:
            u = queue.pop()
            if self.graph[u][u] == 1:
                return False
            for v in range(self.V):
                if self.graph[u][v] == 1 and self.colorArr[v] == -1:
                    self.colorArr[v] = 1 - self.colorArr[u]
                    queue.append(v)
                elif self.graph[u][v] == 1 and self.colorArr[v] == self.colorArr[u]:
                    return False
        return True

    def isBipartite(self):
        self.colorArr = [-1]*self.V
        for i in range(self.V):
            if self.colorArr[i] == -1:
                if not self.isBipartiteUtil(i):
                    return False
        return True

if __name__ == "__main__":
    g = Graph(4)
    g.graph = [[0, 1, 0, 1],
               [1, 0, 1, 0],
               [0, 1, 0, 1],
               [1, 0, 1, 0]]

    print("Yes" if g.isBipartite() else "No")

使用深度優先搜索（DFS）

DFS 也是判定二分圖的一種有效方法。以下是代碼示例：

V = 4

def colorGraph(G, color, pos, c):
    color[pos] = c
    for i in range(V):
        if G[pos][i]:
            if color[i] == -1:
                if not colorGraph(G, color, i, 1-c):
                    return False
            elif color[i] == c:
                return False
    return True

def isBipartite(G):
    color = [-1]*V
    for i in range(V):
        if color[i] == -1:
            if not colorGraph(G, color, i, 1):
                return False
    return True

if __name__ == "__main__":
    G = [[0, 1, 0, 1],
         [1, 0, 1, 0],
         [0, 1, 0, 1],
         [1, 0, 1, 0]]

    print("Yes" if isBipartite(G) else "No")

二分圖的應用

二分圖的一大應用是求解二分匹配問題。二分匹配是選擇二分圖中的一組邊，使得沒有兩個邊共享同一個頂點，且邊的數量盡可能多。這個問題可以通過最大流算法來解決。

最大匹配問題

在二分圖中，最大匹配是指能夠選擇的最多不共享頂點的邊的集合。最大匹配問題可以通過轉化為最大流問題來求解。下圖展示了匹配問題的一個應用場景：

最大匹配示例

匈牙利算法

匈牙利算法是一種用來尋找二分圖最大匹配的經典算法。它通過尋找增廣路徑來增加匹配數，具體的實現如下：

int n;      // n表示點數
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 鄰接表存儲所有邊
int match[N];       // 存儲每個點當前匹配的點
bool st[N];     // 表示每個點是否已經被遍歷過

bool find(int x) //判斷增廣路徑
{
    for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

// 求最大匹配數
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}